Průběh FCE

Doufám e tam neplácám voloviny
<- zpět na Matiku

Detaily k derivacím (WIKI)

Definiční obor

Zjistíme body, pro které funkce není definovaná (podmínky, kdy můeme funkci řeit
Nesmíme dělit nulou, mít pod odmocninou záporné číslo,..)

Sudost, lichost

Pro sudou funkci platí e f(x)=f(-x)
 f(x) je původní funkce
f(-x), za x dosadíme -x

Pokud nám vyjde nepravda (například 4=0) zkusíme lichost:
lichost funkce ověříme porovnáním f(x)=-f(-x)
f(x) je původní funkce
-f(-x), za x dosadíme -x a celý výraz dáme do závorky a před závorku mínus

Periodicita

Fce můe být periodická jen kdy je sloená výhradně z prvků které jsou periodické
Pokud máme ve funkci jenom sin, cos, tg, potom můeme říct e je periodická.
Periodicitu spočítáme na základě znalosti e perioda sin(x), cos(x) je 2*pí, tg(x) je 1*pí
Pokud je zápis sin(2x), potom je perioda poloviční

Limity v nevlastních bodech

nevlastní body jsou mínus nekonečno a nekonečno (pokud jsou v definičním oboru)
Limita (x jsoucí k nekonečnu) dané funkce
Limita (x jsoucí k -nekonečnu) dané funkce

Limity v bodech nespojitosti

Nejprve najdeme body nespojitosti, to jsou body, pro které není fce definovaná (příklad: y=1/x => bod nespojitosti je 0)
Potom Limita (x jdoucí k bodu nespojitosti) dané fce

Průsečíky s osami

S osou X

Jsou to body leící na ose X, tedy jejich Y souřadnice je 0.
Můeme tedy dosadit za y nulu a spočítáme kořeny
Můe nám vyjít libovolný počet kořenů (ádný, 1, 2,..)

S osou Y

Jsou to body leící na ose Y, tedy jejich X souřadnice je 0.
Můeme tedy dosadit za x nulu a spočítáme kořeny
Můe nám vyjít počet kořenů ádný, nebo 1

Znaménka funkčních hodnot

Nejprve určíme nulové body původní funkce, poté řeíme pomocí například tabulky nebo osy znaménko.

Příklad pro
           1
f: y = ----------
       (x+1)(x-1)

nulové body: -1, +1

kladné         záporné     kladné
-----------|------------|--------
          -1           +1

První derivace (f')

Podle pravidel z učebnice zderivujeme původní funkci (strana 94) nebo WIKI 
( u + v ) ' = u' + v'

( u - v ) ' = u' - v'

( u * v ) ' = u' * v + u * v'

              u' * v - u * v'
( u / v ) ' = ---------------
                  v^2
Určíme kde není definovaná (větinou není definovaná tam, kde není definovaná původní fce)

Lokální extrémy

Lokální minima a maxima jsou body kde fce přechází z rostoucí do klesající a naopak
Lokální extrémy jsou nulové body první derivace

Najdeme nejprve nulové body první derivace a podobně jako u znamének funkčních hodnot určíme kde je první derivace kladná a kde záporná.
Tam kde je první derivace kladná, je původní fce rostoucí, kde je záporná, je klesající
Nulové body jsou podezřelé z toho e jsou extrémem,
skutečně jím jsou ale pouze tehdy, přechází li fce z "rostoucí fáze do klesající" a nebo naopak (mění li první derivace známénko)

Tedy, body kde první derivace přechází z kladné hodnoty do záporné (nebo naopak), je x souřadnice maxima (minima).
Kdy známe x souřadnici, potom lehce dopočítáme z původní fce její hodnotu v tomto bodě.

Intervaly monotónosti

Jsou to intervaly mezi lokálním maximem a minimem (které do intervalu také patří). Nepatří sem logicky body, které nejsou v Df.

Druhá derivace (f'')

Je to derivace první derivace (zderivujeme to, co nám vylo jako první derivace)
Pracujeme se stejnými pravidly jako při první derivaci

Určíme kde není definovaná (větinou není definovaná tam, kde není definovaná původní fce)

Inflexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti

Najdeme nejprve nulové body druhé derivace a podobně jako u znamének funkčních hodnot(nebo extrémů) určíme kde je druhá derivace kladná a kde záporná.
Tam kde je druhá derivace kladná, je původní fce konvexní, kde je záporná, je konkávní

Inflexní body

Nulové body jsou podezřelé z toho e jsou inflexním bodem,
skutečně jím jsou ale pouze tehdy, přechází li fce z "konkávnosti do konvexnosti" a nebo naopak (mění li druhá derivace znaménko)

Intervaly

Jsou to intervaly mezi inflexními body (které do intervalu patří). Logicky sem nepatří body které nejsou v Df
Lze také říci e to jsou intervaly nad které jsme (při kreslení osy) nakreslili +, respektive -.

Asymptoty

Jsou to přímky, ke kterým se fce blíí. Obecný tvar asymptot je y=kx+q
k (směrnice) se spočítá:
              f(x)
lim           ---- =
x->nekonečno   x
q (posun po ose y) se spočítá:
lim           f(x)-kx =
x->nekonečno
počítáme stejně i pro x -> mínus nekonečno
pro body nespojitosti nám vyjde k = nekonečno, potom je asymtota x = bod nespojitosti

Obor hodnot

Osobně jsem toto definoval a po načrtnutí grafu, z kterého je jasně vidět, kterých hodnot fce nabývá.

Graf

Vyneseme lokální maxima, lokální minima.
Vyneseme asymptoty, průsečíky s osami.
Naznačíme body inflexnosti.
Na základě znalosti, kde je graf rostoucí, klesající, konvexní, konkávní načrtneme graf.

+ Bonus, tečna k bodu

Kdy do první derivace dosadíme bod, ke kterýmu hledáme tečnu, dostaneme směrnici.
Pokud tedy známe bod[x.y] a směrnici, dopočítáme posun q. 



















Vít Bednář - Vit-ass@seznam.cz