Integrování

<- zpět na Matiku
Správné zobrazování ozkoušené na:
Mozzila Firefox 18.0.1
Google Chrome 24.0.1312.57 m

Tabulka

f	f'
$y = c$	$y' = 0$
$y = c x$	$y' = c$
$y = x^{n}$	$y' = n x^{n - 1}$
$y = \sin x$	$y' = \cos x$
$y = \cos x$	$y' = −sin x$
$y = tg x$	$y' = \frac{1}{\cos^{2} x}$
$y = cotg x$	$y' = - \frac{1}{\sin^{2} x}$
$y = e^{x}$	$y' = e^{x}$
$y = a^{x}$	$y' = a^{x} \ln a$
$y = \ln x$	$y' = \frac{1}{x}$
$y = \log_{a} x$	$y' = \frac{1}{x \ln a}$
+ vhodné znát: $y' = x^{n} \Rightarrow y = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$

Další fce například na WIKI

Sčítání a odčítání

součet integrálů = integrál součtu
rozdíl integrálů = integrál rozdílů
∫(a)dx ± ∫(b)dx ± ∫(c)dx = ∫(a ± b ± b)dx

Příklady základních úprav

∫9⋅(x+1) dx = 9⋅∫(x+1) dx
∫(x³ - 6 x + 7) dx = ∫x³ dx - 6∫x dx + 7∫ dx

\int \frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 4}{2 x} dx

\int \frac{3 x^{4}}{2 x} dx

\int \frac{2 x^{3}}{2 x} dx

\int \frac{4}{2 x} dx

\int {(x + 1)}^{2} (2 x + 3) dx

\int ({2 x}^{3} + {7 x}^{2} + 8 x + 3) dx

Násobení

Metoda „per partes”

násobí se podle našeho "oblíbeného" vzorečku: ∫u(x)⋅v'(x)dx = u(x)⋅v(x) − ∫v(x)⋅u'(x)dx
(pro přehlednost je vnitřek integrálu označen jinou barvou)

Příklad

∫x⋅sin(x) dx
nejprve se určíme u(x) a v(x) abychom mohli dosadit do vzorce pro násobení per partes:
u(x) = x ; v'(x) = sin x
Dosadíme tak abychom byli schopni k u dopočítat derivaci a k v' fci primitivní:
u'(x) = 1 ; v(x) = −cos x
Dosadíme do vzorce:
∫x⋅sin(x)dx = x⋅−cos(x) − ∫−cos(x)⋅1dx
Najdeme fce primitivní k integrálu (odstraníme integrál)
(levou stranu opisuji, není to ale potřeba dělat, stačí psát furt jen = a pokračovat)
∫x⋅sin(x)dx = −x⋅cos(x) + sin(x)
Tak a máme nalezenou primitivní fci, stačí dopsat +c (z dúvodu že derivace konstanty je 0)
Výsledek tedy:∫x⋅sin(x)dx = −x⋅cos(x) + sin(x) + c

Vnořené fce

Substituční metoda

Obecně: [f_{(g_(x))}]' = f'_{(g_(x))}⋅g'_(x)
Nejprve je potřeba pochopit že platí: f_(x) = F'_(x) , tedy že F_(x) je fcí primitivní k f_(x).
Potom platí, že: F_{(g_(x))} je primitivní k fci f_{(g_(x))}⋅g'_(x)
F_{(g_(x))} = ∫f_{(g_(x))}⋅g'_(x) dx
Když provedeme substituci g_(x) = t:
F_{(g_(x))} = F_(t) = ∫f_(t) dt
Důležité tedy je, že:
∫f_(t)⋅g_(x) dx = F_{(g_(x))} = F_(t) = ∫f_(t) dt
∫f_(t)⋅g_(x) dx = ∫f_(t) dt

Příklad

∫(3x-4)⁷dx
Nejprve zderivujeme vnitřek: (3x-7)'= 3 z toho se dosadí do:

\frac{dt}{dx} = 3

, tedy dt = 3dx, respektive dx =

\frac{1}{3}

dt
Pak už jen dosazujeme do víše odvozeného vzorce (substituce (3x-4)⁷ = t)
∫(3x-4)⁷dx = ∫t⁷

\frac{1}{3}

dt =

\frac{1}{3}

∫t⁷ dt
Teď už jenom najdeme primitivní fci a vrátit substituci (opět nakonec nezapomeneme přídat +c):

\frac{1}{3} . \frac{t^{8}}{8} = \frac{{(3 x - 4)}^{8}}{24} + c

Odkazy

Na internetu je velká hromada dat, z kterých lze čerpat, jako celkem použitelná se zdá
například WIKIBOOKS, kde jsou odkazy na různé další články
na stejném serveru. Snaží se zde například vypsat a vysvětlit substituční metodu
a metodu "per partes" ale sám jsem měl značné obtíže tomuto textu porozumět.

                                                     Vít Bednář 15. 2. 2013
                                                        Vit-ass@seznam.cz
                                                           140130.0905