14 Kombinatorika.docx

Správné zobrazování ozkoušené na:
Mozzila Firefox 18.0.1
Google Chrome 24.0.1312.57 m

Binomická věta

1)

V binomickém rozvoji výrazu ( x 3 − 2 x ) 10 určete člen, který obsahuje $x^2$, a dále určete, pro která $x\in {ℝ}^{+}$, $č\mathrm{len}\ge -5$ .

Řešení: Obecný tvat binomické věty: $\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a^{n-k}{b}^k$

Hledáme člen který obsahuje $x^2$, tedy se musíme zbavit odmocniny, z hlavy skusíme dosadit tak aby nám po umocnění vyšel člen který hledáme.
Druhý, respektive devátý člen:$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right)*{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^9{*\left(\frac{-2}{x}\right)}^1=10x^3*\frac{-2}{x}=-20x^2$

spočítáme pro které x platí že ${-20x}^2\ge -5$, protože počítáme v ${ℝ}^{+}$výjde $0<x\le 5$

2)

Určete absolutní člen binomického rozvoje výrazu: ${({2x}^2-\frac{3}{x})}^6$

Řešení: Najdeme člen kde nebude x, respektive se nám x vykrátí a nezústane tam.
To se stane v pátém členu: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4}\right){\left({2x}^2\right)}^2{\left(\frac{-2}{x}\right)}^4=15{*4x}^4*\frac{16}{x^4}=960$

3)

V rozvoji výrazu ${(x\sqrt{x}+\frac{1}{x^4})}^n$ je součet prvních tří koeficientů roven 67. Určete absolutní člen rozvoje. (Člen, který neobsahuje x).

Řešení: Sečteme první tři koeficienty: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=67$

to je: $1+n+\frac{n!}{2!*(n-2)!}=67$

tak nám vypadne kvadratická rovnice s jedním kořenem záporným a druhým $n=11$

Dál už hledáme opět člen, kdy se nám pokrátí x a zůstáne pouze absolutní člen. To platí pro čtvrtý člen, k=3:
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3}\right){\left(x\sqrt{x}\right)}^8{\left(\frac{1}{x^4}\right)}^3=\frac{11!}{3!*8!}=165$

4)

Který člen rozvoje ${\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^{14}$ obsahuje $x^6$? Vypočítejte jeho koeficient.

Řešení: Opět odhadneme, zde poměrně snadno, protože u $2x$ nám exponent klesá, u $\frac{1}{x}$ roste, vždy o 1.
Taky (protože se jedná o součet, kde je v prvním výrazu $x^1$a v druhém $\frac{1}{x^1}$ funguje $\frac{x^{k-n}}{x^n}=x^{k-2n}$, potom už jen dáme do rovnosti a dosadíme za k: $x^{14-2n}=x^6\Rightarrow 14-2n=6\Rightarrow n=4$
Zjistíme tak, že je to 5. člen (vynechávám koeficienty): $$$x^{10}*\frac{1}{x^4}=x^6$
potom už lehce dopočítáme koeficient (vynechávám proměnné): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{4}\right)*2=2002$

5)

Umocněte podle binomické věty: ${(\sqrt{2}-i\sqrt{2})}^6$

Řešení: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0}\right){\sqrt{2}}^6+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1}\right){\sqrt{2}}^5*i\sqrt{2}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right){\sqrt{2}}^4*{\left(i\sqrt{2}\right)}^2+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right){\sqrt{2}}^3*{\left(i\sqrt{2}\right)}^3+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4}\right){\sqrt{2}}^2*{\left(i\sqrt{2}\right)}^4+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5}\right)\sqrt{2}*{\left(i\sqrt{2}\right)}^5+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6}\right){\left(i\sqrt{2}\right)}^6$

po vyčíslení (řeším v $ℂ$): $8+(24\sqrt{2}*i\sqrt{2})+\left(60*2i^2\right)+(40\sqrt{2}*2\sqrt{2}*i^2*i)+(30*4*i^2*i^2)+(6\sqrt{2}*4\sqrt{2}*i^4*i)+8i^4*i^2$

podle $i^2=-1$ dopočítáme a sečteme, mě vyšlo $=-64i$

$i^4={\left(i^2\right)}^2=1$

(pokud nechceme vypočítávat koeficienty pomocí kombinací, je skvělý pascalův trojuhelník, kde vyjde 1;6;15;20;15;6;1)

6)

V rozvoji${(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2})}^{10}$ určete$x\in ℝ$ tak, aby pátý člen rozvoje byl 105.

Řešení: 5.člen ⇒ $k=4$

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right){\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}^6{\left(\frac{-1}{2}\right)}^4=105$

po vyčíslení $\frac{1}{512}=x^3\Rightarrow x=\frac{1}{8}$

7)

Umocněte podle binomické věty: ${\left(1+i\right)}^7$

Řešení: Z Pascalova trojuhelníku jsem si vypsal koeficienty (protože je zde je jednička a i je zde také jen jednou,
koeficienty z Pascalova trojuhelníku nebudeme potřebovat dál násobit jiným číslem než ±1 a i)

Opět řeším v ℂ (otočil jsem si zadání na ${\left(i+1\right)}^7$): $i^7+7i^6+21i^5+35i^4+35i^3+21i^2+7i+1=\text{…}=8-8i$

8)

Vypočítejte 10. člen binomického rozvoje ${\left(2a+b\right)}^{15}$

Řešení: 10. člen ⇒ $k=9$

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{9}\right){*\left(2a\right)}^{15-9}{*b}^9=\frac{15!}{9!*6!}*64a^6*b^9=320320a^6{b}^9$

9)

Určete $z\in ℝ$ tak, aby 7. člen binomického rozvoje ${(\sqrt[3]{1+z}+\sqrt[6]{1-z})}^9$byl roven 63

Řešení: 7. člen ⇒ $k=6$

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{6}\right){*\left(\sqrt[3]{1+z}\right)}^3{*\left(\sqrt[6]{1-z}\right)}^6=63$

$84*(1+z)*(1-z)=63$⇒$z=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ale kvůli podmínce $K=\{+\frac{\sqrt{2}}{2}\}$

10)

Najděte všechny členy binomického rozvoje, které jsou racionálními čísly: ${(\sqrt{5}+1)}^6$

Řešení: všechny členy kdy √5 umocníme sudým číslem, racionální lze zapsat zlomkem, √5 nelze zapsat zlomkem, proto se ho musíme „zbavit”

$k=0\Rightarrow \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0}\right){\sqrt{5}}^6*1^0=750$

$k=2\Rightarrow \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right){\sqrt{5}}^4*1^2=375$

$k=4\Rightarrow \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4}\right){\sqrt{5}}^2*1^4=75$

$k=6\Rightarrow \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6}\right){\sqrt{5}}^0*1^6=1$

11) ? divné

Určete $n\in \mathbb{N}$tak, aby koeficient u$y^8$ v binomickém rozvoji ${\left(1+2y^2\right)}^n$ byl roven 240.

Řešení:$y^8$vznikne pouze při $k=4$ (5. člen), vzniká podmínka $n\ge 4$

${\left(1+2y^2\right)}^n$ pro 4. člen: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)*1^{n-4}*{\left({2y}^2\right)}^4=240$

potom mi vyšlo $n(n-1)(n-2)(n-3)16y^8=240$, y vynechám, protože počítám koeficient,.. ale nevýjde mi řešení v $ℝ$ natož v $\mathbb{N}$

12)

Pomocí binomické věty vypočítejte ${\mathrm{1,02}}^5$

Řešení: rozložíme na ${\left(1+\mathrm{0,02}\right)}^5$a spočítáme:

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right)*1*{\mathrm{0,02}}^0+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)*1*\mathrm{0,02}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)*1*{\mathrm{0,02}}^2+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)*1*{\mathrm{0,02}}^3+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)*1*{\mathrm{0,02}}^4+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}\right)*1*{\mathrm{0,02}}^5$

$=\mathrm{1,104080803}$ snad,.. tedy, alespoň podle dosazení do kalkulačky, ale to jsem to tam mohl napsat rovnou v původním tvaru.

13)

Zjistěte, který člen binomického rozvoje výrazu ${(\sqrt{x}+\sqrt[3]{\frac{1}{x}})}^{15},x>0$ neobsahuje proměnnou x

Řešení: najdeme člen kdy se nám $x$ vykrátí (já jsem hledal člen, kde výraz $\sqrt{x}$bude mít sudý exponent a $\sqrt[3]{\frac{1}{x}}$exponent dělitelný třemi)

vyhovuje 10. člen ⇒ $k=9$

${\left(\sqrt{x}\right)}^6*{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}^9=\frac{x^3}{x^3}$⇒neobsahuje proměnnou $x$, koeficient $=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{9}\right)=5005$

14)

Pro které $x\in ℝ$ je sedmý člen binomického rozvoje výrazu ${(\sqrt[3]{4-2x}+\sqrt[6]{3-2x})}^9$roven 168?

Řešení: 7. člen ⇒$k=6$

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{6}\right)*{\left(\sqrt[3]{4-2x}\right)}^3{*\left(\sqrt[6]{3-2x}\right)}^6=168$

po úpravách nám výjde kvadratická rovnice $x_1=\frac{5}{2}$ a $x_2=1$

Faktorál, kombinační čísla, Pascalův trojúhelník

Dál už neopisuju zadání, zadání je ke stažení na předchozí stránce.

1) výsledek jiný od zadání

po úpravě: $n^2+15n-57<0$

kořeny $n_1=\mathrm{3,14}$ $n_2=-\mathrm{18,1}$

podmínka $n\ge 2$

 +     −    +
---+-------+---
 -18,1    3,14

$-\mathrm{18,1}<n<\mathrm{3,14}$

$K=\{2;3\}$

2)

přímo výsledky s podmínkami:

a) $\frac{1-2n-n^2}{n!}$pro $n\ge 2$

b) $\frac{3}{(n-3)!}$pro $n\ge 4$

c) $\frac{-n^2}{(n+1)!}$pro $n\ge 1$

d) $\frac{4}{(n+2)!}$pro $\forall n\in \mathbb{N}$

3)

provedeme substituci $n!=a$

$a^2-7a+6=0$

kořeny: $a_1=6$ $a_2=1$

dosadíme do substituce
$n!=6$⇒$n_1=3$
$n!=1$⇒$n_2=1$ $n_3=0$
$K=\{0;1;3\}$

4)

podmínka $x\ge 4$

po úpravě: $x(2x-7)\le 0$

$K=\left\{\right\}$

5)

a) za neznámou považuji $n$

po úpravě: $2n^2-8n-10=0$⇒$n=5$

b) složitější: nejprve v čitateli vytknu $(n+1)!$

$\frac{(n-1)!*(1+2+3+\dots +n)}{2n!}=\frac{(n+1)!}{4x}$

dál provedu tři kroky naráz: vydělím výrazem $(n+1)!$, vynásobím 4 a oba zlomky převnrátím

$\frac{(n+1)!*2n!}{(n-1)!*(1+2+\dots +n)*4}=x$

pokrátím faktoriály a 4 s 2

$\frac{(n+1)*n*n!}{(1+2+\dots +n)*2}=x$

jmenovatel přepíšeme pomocí vzorce pro součet aritmetické řady s diferencí 1: $\dots =(n+1)\frac{n}{2}$ (dvojky se vykrátí)

$\frac{(n+1)!*n}{(n+1)*n}=x$

pokrátíme bezi sebou n a pokrátíme faktoriál, vznikne n!

$n!=x$

c) po úpravě: $x^2=25$

kvůli podmínce $K=\{+5\}$

d) po přepisu: $1+\frac{5*4}{2}*(x+1)-4*\frac{(x+1)x}{2}=1$

$x^2-5x-6=0$

kořeny $x_1=6$ $x_2=-1$

kvůli podmínce $K=\left\{6\right\}$, v zadání je, že správná odpověď je 5

e) po přepisu: $5(x+8)-x=2(x+1)x$

$x^2-x-20=0$

kořeny $x_1=5$ $x_2=-4$

kvůli podmínce $K=\left\{5\right\}$

f) po přepisu: $x^2-11=2\left(\right(x-1)+\frac{(x-2)(x-3)}{2})*1$

$x=5$

g) po přepisu: $\frac{x(x-1)(x-2)}{6}+\frac{(x+1)x(x-1)}{6}=\frac{x^3-35}{3}$

${3x}^2-x-70=0$

$x_1=5$ $x_2=\frac{-14}{3}$

6)

a) $\frac{2n!(2n+1)}{2n!}+\frac{(3n-1)!3n}{(3n-1)!}=\frac{(n+1)n!}{2n!}+50$

$2n+1+3n=\frac{n+1}{2}+50$

$n=11$

b) po vykrácení: $n^2+11n+30-n^2+4n=5n+80$

$n=5$

7)

a) $74!<(n-2)!$⇒$74<n-2$

$n>74$

b) po vykrácení: $n^2-11n$+24 ≥0, s podmínkou $x\ge 2$

kořeny $n_1=3$ $n_2=8$

$K=\{2;3\}\cup \{n\in \mathbb{N},n\ge 8\}$

c) po zbavení se zlomků: $n^2+2n-15\le 0$

kořeny $n_1=-5$ $n_2=3$

$K=\{1;2;3\}$

Praktické aplikace kombinatoriky

1)

$\frac{(n+5)!}{(n+5-2)!}=\frac{n!}{(n-2)!}+1170$

$(n+5)(n+4)=n(n-1)+1170$

$n=115$

2) výsledek jiný od zadání

$10*\frac{(n-27)!}{(n-27-2)!}=\frac{n!}{(n-2)!}$

$10(n-27)(n-28)=n(n-1)$

$10n^2-550n+7560=n^2-n$

$n^2-61n+840=0$

$n_1=40$, $n_2=21$⇐podmínka $n\ge 29$

$K=\left\{40\right\}$

3)

lidí| ťuknutí |∑
 1  |0        |0         ⇐nebo také hodnoty z Pascalova trojůhelníku
 2  |1        |1           (vždycky třetí hodnota v řádku)
 3  |2+1      |3                     1   1
 4  |3+2+1    |6                    1  2  1     funguje protože 2. hodnota určuje počet lidí
 5  |4+3+2+1  |10                  1 3   3 1    
 6  |5+4+3+2+1|15                 1 4  6  4 1   vždy k celkovému počtu ťuknutí (3.hodnota)
                                 1 5 10 10 5 1  přičítáme počet lidí z minulého řádku (2.hodnota)
 (7 ⇒ 6+5+4+3+2+1=21)          1 6 15 20 ...
                               1 7 21 ...

4)

a) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=120$

b) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)+4=8$

rovina je vždy dána třemi body, tedy
a) vybíráme tři body z deseti
b) vybíráme tři body ze čtyř (co nejsou v přímce) + roviny které spolu dají přímka s čtyřmi body

5)

a) $9+8+7+\dots +1=\sum _{x=1}^{9}x=45$

b)$1+3+2+1+6*4=31$

(1 je zadaná + přímky které vytvoří 4 body + přímky které vytvoří body v přímce s body mimo přímku)

6)

a) $4*5*5*5*2=1000$
na první pozici není 0 a na poslední je 0 nebo 4

b) $3*5*5*5*5-1=1874$

c) mohou se opakovat: $4*5*5*5*5=2500$
nemohou se opakovat: $4*4*3*2*1=96$

7)

a) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{5}\right)$ b) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)*\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)$ c)$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{5}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)*\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)$ d)$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)*\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1}\right)$ e) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{5}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)*\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)*\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1}\right)$ f)$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)*\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1}\right)$

8) problém

a) pro čísla 300-999 je $2*3*2$ variant, pro číslavětší než 1000 je 4! variant

b) O kolikamístné číslo se jedná?

c) O kolikamístné číslo se jedná?

9)

$V_5\left(n\right)=\frac{n!}{\left(n-5\right)!}$ (variace) $C_3\left(n\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)$(kombinace)

$V_5\left(n\right)={36*C}_3\left(n\right)$

$\frac{n!}{(n-5)!}=36*\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)$

po úpravě: $n^2-7n+6=0$

kořeny:$n_1=6$ $n_2=1$ ⇐podmínka $n\ge 5$

10) problém

Co jsou a kolik je prvkú spektrálních barev?

11)

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=56$

12)

20!

13)

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)*\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)*1=420$

14)

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{10}\right)*\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6}\right)*1$

15)

$10!*5!*2$

16)

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+4}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+30$

po úpravě $n=6$

17) nevychází

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+15}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)*3$

po úpravě: $n^2-61n-420=0$

kořeny $n\notin N$, kde mám chybu nevím

18)

míst|variant|
 1  |   2   |
 2  |  2*2  |
 3  | 2*2*2 |
 4  |2*2*2*2|
------------

19)

a) $9+8+7+\dots +1=\sum _{x=1}^{9}x=45$

b)$1+4*6+5+4+3+2+1=40$

20)

$3!*3*2!=36$

21)

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8*8}{2*8}\right)$

                                                               Vít Bednář 5.2.2013 14:25